Question

16．如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）、A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（1）写出该抛物线的标准方程；
（2）当直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由图与题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px．（p＞0）．把点P（1，2）代入抛物线方程解得p即可得出；
（2）由直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，可得k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$=0，化简可得y₁+y₂=-4．再利用直线AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）由图与题意可设抛物线的标准方程为：y²=2px．（p＞0）．
把点P（1，2）代入抛物线方程可得：2²=2p，解得p=2，
∴抛物线的方程为：y²=4x．
（2）∵直线PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1}$+$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{x}_{2}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}+\frac{4}{{y}_{2}+2}$=0，
化简可得y₁+y₂=-4．
∴直线AB的斜率k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-\frac{{y}_{2}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{4}{-4}$=-1．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．