Question

20．关于x的方程$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=2m在[0，π]内有相异两实根，则实数m的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由题意可得，函数y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象和直线y=2m在[0，π]内有相异的两个交点，数形结合可得实数m的取值范围．

解答 解：由题意可得，函数y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象
和直线y=2m在[0，π]内有相异的两个交点．
由x∈[0，π]，可得x+$\frac{π}{4}$[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
数形结合求得实数2m的取值范围为[1，$\sqrt{2}$），故实数m的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．