Question

8．已知数列{a_n}满足a_n+1=2b_n，b_n+1=a_n+2，a₁=2，b₁=4．
（1）求a₂及b₃的值；
（2）求证：$\frac{{a}_{n+2}+4}{{a}_{n}+4}$=$\frac{{b}_{n+2}+2}{{b}_{n}+2}$；
（3）求数列{a_n-b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式即可得出；
（2）利用递推式可得$\frac{{a}_{n+2}+4}{{a}_{n}+4}$=$\frac{2{b}_{n+1}+4}{{a}_{n}+4}$=$\frac{2（{a}_{n}+2）+4}{{a}_{n}+4}$=2，同理可得$\frac{{b}_{n+2}+2}{{b}_{n}+2}$=2，
（3）利用（2）的结论对n分类讨论，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：∵b₁=4，
∴a₂=2b₁=8，
∴b₃=a₂+2=10．
（2）证明：$\frac{{a}_{n+2}+4}{{a}_{n}+4}$=$\frac{2{b}_{n+1}+4}{{a}_{n}+4}$=$\frac{2（{a}_{n}+2）+4}{{a}_{n}+4}$=2，
$\frac{{b}_{n+2}+2}{{b}_{n}+2}$=$\frac{{a}_{n+1}+4}{{b}_{n}+2}$=$\frac{2{b}_{n}+4}{{b}_{n}+2}$=2，
∴$\frac{{a}_{n+2}+4}{{a}_{n}+4}$=$\frac{{b}_{n+2}+2}{{b}_{n}+2}$；
（3）解：由（2）可知：a_n+2+4=2（a_n+4），
∴a_2k-1+4=$（{a}_{1}+4）×{2}^{k-1}$=3×2^k，
∴a_2k-1=3×2^k-4．
同理可得：a_2k=（a₂+4）×2^k-1-4=3×2^k+1-4．
由b_n+2+2=2（b_n+2），
同理可得：b_2k-1=3×2^k-2，b_2k=3×2^k-2．
∴a_2k-1-b_2k-1=-2，a_2k-b_2k=3×2^k-2．
∴当n=2k时，数列{a_n-b_n}的前n项和S_n=-2k+$3×\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$-2k=3×2^k+1-6-4k=$3×{2}^{\frac{n+2}{2}}$-6-2n．
当n=2k-1时，数列{a_n-b_n}的前n项和S_n=$3×{2}^{\frac{n+2}{2}}$-6-2n-（3×2^k-2）=$3×{2}^{\frac{n+2}{2}}$-4-2n-$3×{2}^{\frac{n+1}{2}}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{3×{2}^{\frac{n+2}{2}}-6-2n，n为偶数}\\{3×{2}^{\frac{n+2}{2}}-4-2n-3×{2}^{\frac{n+1}{2}}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．