Question

19．已知复数Z满足|Z+4|=|Z+4i|且Z+$\frac{14-Z}{Z-1}$＜0，求$\overline{Z}$．

Answer 1

分析 利用两个独立条件采用待定系数法确定z．然后求解$\overline{z}$

解答 解：设z=x+yi（x，y∈R），复数Z满足|Z+4|=|Z+4i|，可得y=x．则z=x+xi，
∵z+$\frac{14-Z}{Z-1}$＜0∴z+$\frac{14-Z}{Z-1}$=x+xi+$\frac{14-x-xi}{x-1+xi}$=x+xi+$\frac{（14-x-xi）（x-1-xi）}{（x-1+xi）（x-1-xi）}$=x+xi+$\frac{15x-14-2{x}^{2}-13xi}{{（x-1）}^{2}+{x}^{2}}$
=x+$\frac{15x-14-2{x}^{2}}{{（x-1）}^{2}+{x}^{2}}$+$\frac{{x（x-1）}^{2}+{x}^{3}-13x}{{（x-1）}^{2}+{x}^{2}}i$．
∵Z+$\frac{14-Z}{Z-1}$＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x（x-1）}^{2}+{x}^{3}-13x=0\\ x+\frac{15x-14-2{x}^{2}}{{（x-1）}^{2}+{x}^{2}}＜0\end{array}\right.$
解得x=0或x=3或x=-2，经检验可知x=0，x=-2满足题意．
综上所述故$\overline{Z}$=0或$\overline{Z}$=-2+2i．

点评 本题主要考查熟练的运用复数的代数形式的混合运算，共轭复数的性质．