Question

14．化简：
（1）3$\sqrt{15}$sinx+3$\sqrt{5}$cosx；
（2）$\frac{3}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx；
（3）$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$；
（4）$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\frac{\sqrt{6}}{4}$cos（$\frac{π}{4}$-x）；
（5）sin164°sin224°+sin254°sin314°；
（6）sin（α+β）cos（γ-β）-cos（β+α）sin（β-γ）；
（7）sin（α-β）sin（β-γ）-cos（α-β）cos（γ-β）；
（8）tan$\frac{5π}{4}$+tan$\frac{5π}{12}$．

Answer 1

分析 根据两角和与差的正弦，余弦及正切公式，结合诱导公式，特殊角的三角函数，逐一化简，可得答案．

解答 解：（1）3$\sqrt{15}$sinx+3$\sqrt{5}$cosx=6$\sqrt{5}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）=6$\sqrt{5}$（sinxcos$\frac{π}{6}$+cosxsin$\frac{π}{6}$）=6$\sqrt{5}$sin（x+$\frac{π}{6}$）；
（2）$\frac{3}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）=$\sqrt{3}$（cos$\frac{π}{6}$cosx-sin$\frac{π}{6}$sinx）=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）；
（3）$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$+cos$\frac{x}{2}$=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$）=2（sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{π}{6}$+cos$\frac{x}{2}$sin$\frac{π}{6}$）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）；
（4）$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\frac{\sqrt{6}}{4}$cos（$\frac{π}{4}$-x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{π}{4}$-x）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[sin（$\frac{π}{4}$-x）cos$\frac{π}{3}$+cos（$\frac{π}{4}$-x）sin$\frac{π}{3}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{π}{4}$-x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（$\frac{7π}{12}$-x）；
（5）sin164°sin224°+sin254°sin314°=sin（180°-16°）sin（180°+44°）+sin（270°-16°）sin（270°+44°）=-sin16°sin44°+cos16°cos44°=cos（44°+16°）=cos60°=$\frac{1}{2}$；
（6）sin（α+β）cos（γ-β）-cos（β+α）sin（β-γ）=sin（α+β）cos（β-γ）-cos（α+β）sin（β-γ）=sin[（α+β）-（β-γ）]=sin（α+γ）；
（7）sin（α-β）sin（β-γ）-cos（α-β）cos（γ-β）=sin（α-β）sin（β-γ）-cos（α-β）cos（β-γ）=cos[（α-β）+（β-γ）]=cos（α-γ）；
（8）tan$\frac{5π}{4}$+tan$\frac{5π}{12}$=tan（π+$\frac{π}{4}$）+tan（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=tan$\frac{π}{4}$+$\frac{tan\frac{π}{6}+tan\frac{π}{4}}{1-tan\frac{π}{6}tan\frac{π}{4}}$=1+$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的知识点是两角和与差的正弦，余弦及正切公式，难度不大，属于基础题．