Question

4．销售甲，乙两种商品所得到利润与投入资金x（万元）的关系分别为f（x）=m$\sqrt{x+1}+a$，g（x）=bx（其中m，a，b∈R），函数f（x），g（x）对应的曲线C₁，C₂，如图所示．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）若该商场一共投资4万元经销甲，乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．

Answer 1

分析 （1）分别将点（0，0）、（8，$\frac{8}{5}$）代入f（x），（8，$\frac{8}{5}$）代入g（x）计算即可；
（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4-x）万元，代入（1）中各式，再令$\sqrt{x+1}$=t，问题转化为关于t的二次函数，通过配方法即得最大值．

解答 解：（1）根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{m+a=0}\\{3m+a=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
解得$m=\frac{4}{5}$，$a=-\frac{4}{5}$，
所以f（x）=$\frac{4}{5}\sqrt{x+1}-\frac{4}{5}$  （x≥0），
又由题意知$8b=\frac{8}{5}$，即$b=\frac{1}{5}$，
所以g（x）=$\frac{1}{5}x$ （x≥0）；
（2）设销售甲商品投入资金x万元，则乙投入（4-x）万元，
由（1）得y=$\frac{4}{5}\sqrt{x+1}-\frac{4}{5}$+$\frac{1}{5}（4-x）$ （0≤x≤4），
令$\sqrt{x+1}$=t，则$1≤t≤\sqrt{5}$，
故$y=-\frac{1}{5}{t}^{2}+\frac{4}{5}t+\frac{1}{5}$=$-\frac{1}{5}（t-2）^{2}+1$  （$1≤t≤\sqrt{5}$），
当t=2即x=3时，y取最大值1，
答：该商场所获利润的最大值为1万元．

点评 本题考查数形结合、还原法、配方法，将图象中的点代入解析式是解题的关键，属于中档题．