Question

13．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设平面向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（cosC，c-2b），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（2a，1）且$\overrightarrow{{e}_{1}}⊥\overrightarrow{{e}_{2}}$
（1）求角A
（2）若a=2，求△ABC的周长L的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用向量垂直的条件：数量积为0，由正弦定理和两角和的正弦公式，计算即可得到；
（2）运用余弦定理和基本不等式，结合二次不等式的解法即可求得周长的范围．

解答 解：（1）由平面向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=（cosC，c-2b），$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（2a，1）
且$\overrightarrow{{e}_{1}}⊥\overrightarrow{{e}_{2}}$，
则$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，
即为2acosC+c-2b=0，
由正弦定理可得，
2sinAcosC+sinC-2sinB=0，
2sinAcosC-2sin（A+C）+sinC=0，
即有-2cosAsinC+sinC=0，
则cosA=$\frac{1}{2}$，
由A为三角形的内角，
则A=60°；
（2）由余弦定理可得，
a²=b²+c²-2bccosA，
代入a=2，A=60°，
即有b²+c²-bc=4，
令t=b+c，则t²=4+3bc
由bc≤$\frac{（b+c）^{2}}{4}$=$\frac{{t}^{2}}{4}$，
则t²≤4+$\frac{3{t}^{2}}{4}$，
即有0＜t≤4．
则△ABC的周长L=a+b+c的范围是（2，6]．

点评 本题考查向量垂直的条件：数量积为0，同时考查正弦定理和余弦定理的运用，以及基本不等式的运用，属于中档题．