Question

18．在△ABC中，已知a²-（b²-c²）=（2-$\sqrt{3}$）bc，sinA•sinB=cos²$\frac{C}{2}$，
（1）求角A，角B；
（2）求sinB•sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由条件sinA•sinB=cos²$\frac{C}{2}$求得得cos（A-B）=1，可得A=B，a=b．再根据a²-（b²-c²）=（2-$\sqrt{3}$）bc，利用余弦定理求得cosB的值，可得角A，角B的值．
（2）由（1）可得sinC=2sinAcosA，可得sinB•sinC=2sin²AcosA，化简求得结果．

解答 解：（1）△ABC中，∵sinA•sinB=cos²$\frac{C}{2}$=$\frac{1+cosC}{2}$，∴2sinA•sinB=1+cosC=1-cos（A+B）=1-cosAcosB+sinAsinB，
化简可得cos（A-B）=1，∴A-B=0，即 A=B，∴a=b．
再根据a²-（b²-c²）=（2-$\sqrt{3}$）bc，利用余弦定理可得 2ac•cosB=（2-$\sqrt{3}$）ac，∴cosB=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=cosA，
∴A=B=arccos（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（2）由以上可得，sinC=sin（A+B）=sin2A=2sinAcosA，∴sinB•sinC=2sin²AcosA=2cosA•（1-cos²A）
=（ 2-$\sqrt{3}$）•（$\sqrt{3}$-$\frac{3}{4}$）=$\frac{5\sqrt{3}-18}{4}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式、诱导公式、以及两角和的三角公式，属于中档题．