Question

12．定义一个对应法则g：O′（m，n）→O（$\sqrt{m}$，n）（m≥0），现有点A′（1，-3）与B′（9，5），点M′是线段A′B′上一动点，按定义的对应法则g：M′→M，当点M′在线段A′B′上从点的A′开始运动到点B′结束时，则点M′的对应点M所形成的轨迹与x轴围成的面积为4．

Answer 1

分析 先求M的轨迹，要根据点M与点M′的关系用代入法点M的轨迹方程，此方法特点是先设出点M'的坐标为（x，y），用之表示出点P的坐标，代入点M的坐标满足的方程，得到点M'的横纵坐标之间的关系，即轨迹为M，再由定积分其面积．

解答 解：A′B′的斜率k=$\frac{-3-5}{1-9}=\frac{8}{8}=1$，
直线l为A′B′：y+3=x-1，则y=x-4，且1≤x≤9
A′B′上的一点（x，y）通过法则变（x′，y′），
则y′=y，x′=$\sqrt{x}$，
故x=x′²，y′=x′²-4，1≤x′≤3
所求面积S=∫${\;}_{1}^{2}$（4-x²）dx+${∫}_{2}^{3}$（x²-4）dx=（4x-$\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{1}^{2}$+（$\frac{1}{3}{x}^{3}$-4x）|${\;}_{2}^{3}$=4

点评 本题考查代入法求轨迹方程，根据对应法则求出对应关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．