Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=-2，a_n+1+3S_n+2=0（n∈N^*）．
（1）求a₂、a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）是否存在整数对（m、n），使得等式a_n²-m•a_n=4m+8成立？若存在，请求出所有满足条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据递推公式即可求出a₂、a₃的值；
（2）a_n+1+3S_n+2=0，①，a_n+2+3S_n+1+2=0，②，得到a_n+2=-2a_n+1，继而得到数列{a_n}是以-2为首项，以-2为公比的等比数列，问题得以解决；
（3）由题意求出m=（-2）ⁿ-4+$\frac{8}{（-2）^{n}+4}$，分别代入n的值求出（m，n）的坐标．

解答 解：（1）a₁=-2，a_n+1+3S_n+2=0（n∈N^*），
∴a₂+3S₁+2=0，a₃+3S₂+2=0，
∴a₂+3a₁+2=0，a₃+3（a₁+a₂）+2=0，
∴a₂=4，a₃=-8，
（2）a_n+1+3S_n+2=0，①，
a_n+2+3S_n+1+2=0，②，
②-①得，a_n+2-a_n+1+3（S_n+1+S_n）=0，
∴a_n+2=-2a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=-2，
∴数列{a_n}是以-2为首项，以-2为公比的等比数列，
∴a_n=-2×（-2）^n-1=（-2）ⁿ，
（3）∵a_n²-m•a_n=4m+8，
∴m=$\frac{{{a}_{n}}^{2}-8}{4+{a}_{n}}$=$\frac{（-2）^{2n}-8}{（-2）^{n}+4}$=$\frac{（-2）^{2n}-16+8}{（-2）^{n}+4}$=（-2）ⁿ-4+$\frac{8}{（-2）^{n}+4}$，
∵m为整数，则$\frac{8}{（-2）^{n}+4}$为整数，
当n=1时，m=-2，
当n=2时，m=1，
当n=3时，m=-14，
则满足条件的（m，n）共有（-2，1），（1，2），（-14，3）．

点评 本题考查了数列的递推公式，等比数列的通项公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．