Question

12．已知抛物线C的顶点是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心，其焦点与该椭圆的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线交于M、N两点，自M、N点向准线l作垂线，垂足分别为M₁、N₁，记△FBM₁，△FM₁N₁，△FNN₁的面积分别为S₁、S₂、S₃是否存在实数λ，使得对任意过焦点的直线，都有S₂²=λS₁S₃成立，若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的焦点，即抛物线的焦点坐标即可求抛物线C的方程；
（2）联立直线方程和抛物线方程，分别求出三角形对应的面积S₁、S₂、S₃，确定面积之间的关系即可得到结论．

解答 解：（1）由题意，设抛物线为y²=2px，（p＞0）（1分）
由a²-b²=4-3=1，得c=1   （2分）
∴抛物线的焦点为（1，0）
∴p=2   （3分）
∴抛物线C的方程为y²=4x   （4分）
（2）当斜率存在时，设直线为y=k（x-1）（5分）
联立y²=4x，消去y
得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
则x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=k²[1-（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）+1]=-4，
∴S₁=$\frac{1}{2}$（x₁+1）|y₁|，S₂=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|•2=|y₁-y₂|，S₃=$\frac{1}{2}$（x₂+1）|y₂|，
∴S₂²=|y₁-y₂|²=y₁²+y₂²-2y₁y₂=4（x₁+x₂）-2y₁y₂=4（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）+8=16+$\frac{16}{{k}^{2}}$，
S₁S₃=$\frac{1}{4}$（x₁+1）（x₂+1）|y₁y₂|=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=1+2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+1=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，（10分）
即S₂²=4S₁S₃，
当斜率不存在时，直线为x=1，
可求得S₄=S₃=2，S₂=4，亦有S₂²=4S₁S₃，（11分）
故存在实数4，使得S₂²=4S₁S₃，成立． （12分）

点评 本题主要考查抛物线方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，综合考查学生的运算和推理能力，综合性较强，运算比较复杂．