Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{（t+1）}{2}{x^2}$+tx-1．
（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上无极值，求t的值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最大值，求t的取值范围；
（Ⅲ）当t＞0时，若f（x）≤xe^x-1（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导f′（x）=x²-（t+1）x+t=（x-t）（x-1），从而由f（x）在（0，2）上无极值可得t=1；
（Ⅱ）由f′（x）=（x-t）（x-1）知，分t≤0，0＜t＜1，t=1，1＜t＜2与t≥2五种情况讨论函数的单调性，从而确定函数的最大值点，从而求t．
（Ⅲ）当t＞0时，f（x）≤xe^x-1对任意x∈[0，+∞）恒成立可化为${e^x}-\frac{1}{3}{x^2}+\frac{（t+1）}{2}x-t≥0$对任意x∈[0，+∞）恒成立，令$g（x）={e^x}-\frac{1}{3}{x^2}+\frac{（t+1）}{2}x-t$，从而由导数确定函数的单调性，从而转化为最值问题．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{（t+1）}{2}{x^2}$+tx-1，
∴f′（x）=x²-（t+1）x+t=（x-t）（x-1），
又∵f（x）在（0，2）无极值，
∴t=1；
（Ⅱ）（1）当t≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，2）单调递增，不合题意；
（2）当0＜t＜1时，f（x）在（0，t）单调递增，在（t，1）单调递减，在（1，2）单调递增，
∴f（t）≥f（2），
由f（t）≥f（2）得，-t³+3t²≥4在0＜t＜1时无解；
（3）当t=1时，不合题意；
（4）当1＜t＜2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，t）单调递减，在（t，2）单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥f（2）}\\{1＜t＜2}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}t≥3}\\{1＜t＜2}\end{array}\right.$；
∴$\frac{5}{3}$≤t＜2；
（5）当t≥2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，2）单调递减，满足条件；
综上所述：$t∈[\frac{5}{3}，+∞）$时，存在x₀∈（0，2），使得f（x₀）是f（x）在[0，2]上的最大值．
（Ⅲ）当t＞0时，若f（x）≤xe^x-1对任意x∈[0，+∞）恒成立，
即${e^x}-\frac{1}{3}{x^2}+\frac{（t+1）}{2}x-t≥0$对任意x∈[0，+∞）恒成立，
令$g（x）={e^x}-\frac{1}{3}{x^2}+\frac{（t+1）}{2}x-t$，
$g'（x）={e^x}-\frac{2}{3}x+\frac{t+1}{2}$，
$g''（x）={e^x}-\frac{2}{3}＞0$，
g′（x）在x∈[0，+∞）上是递增函数，
$g'（x）≥g'（0）=1+\frac{t+1}{2}＞0$，
g（x）在x∈[0，+∞）上递增，
g（x）≥g（0）=1-t≥0，
即t≤1；
故t的取值范围为0＜t≤1．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用，应用到了二阶求导，同时考查了恒成立问题，属于难题．