Question

9．函数f（x）是R的奇函数，f（x+1）=f（1-x），当0≤x≤1时，f（x）=3x．
（1）求f（2010.5）的值；
（2）当1≤x≤5时，求f（x）的解析式；
（3）解不等式f（2x-1）＞1．

Answer 1

分析 （1）根据题意，得出f（x）是周期为4的函数，再计算f（2010.5）的值；
（2）根据f（x）的奇偶性以及周期性，求出f（x）在[1，5]上的解析式；
（3）根据函数f（x）的周期性，结合函数在一个周期内的解析式，求出不等式f（2x-1）＞1的解集．

解答 解：（1）定义在R上的奇函数满足f（x+1）=f（1-x），
∴f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1）=-f（x+1-2），
∴f（x）=-f（x-2）；
∴f（x+2）=-f（x+2-2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为4的函数；
∴f（2010.5）=f（4×502+2.5）=f（2.5），
又∵f（2.5）=f（1.5+1）=f（1-1.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-3×0.5=-1.5；
（2）∵f（x+1）=f（1-x），∴f（x）的对称轴是x=1；
又f（x）是定义域R上的奇]函数，且0≤x≤1时，f（x）=3x，
∴-1≤x≤1时，f（x）=3x；
∴1≤x≤3时，f（x）=-3（x-2）；
3＜x≤5时，f（x）=3（x-4）；
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3（x-2），1≤x≤3}\\{3（x-4），3＜x≤5}\end{array}\right.$；
（3）∵函数f（x）的最小正周期为4，
-1≤x≤1时，f（x）=3x；
1≤x≤3时，f（x）=-3（x-2）；
且f（$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{5}{3}$）=1，画出函数f（x）在一个周期[-1，3]上的图象，如图所示；
根据函数在[-1，3]的图象以及函数的周期性得，
若f（2x-1）＞1，则$\frac{1}{3}$+4k＜2x-1＜$\frac{5}{3}$+4k，k∈Z，
∴$\frac{2}{3}$+2k＜x＜$\frac{4}{3}$+2k，k∈Z，
∴不等式的解集为{x|$\frac{2}{3}$+2k≤x≤$\frac{4}{3}$+2k，k∈Z}．

点评 本题考查了求函数值的应用问题，函数的奇偶性与周期性的应用问题，函数的图象以及不等式的解法应用问题，是综合性题目．