Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意n∈N^*，S₁，$\frac{1}{2}\\;{a}_{\\;\\;n+1}$a_n+1，S_n成等差数列．
（Ⅰ）求a_n．
（Ⅱ）若b_n=$\frac{n}{4{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由a₁=1，且对任意n∈N^*，S₁，$\frac{1}{2}\\;{a}_{\\;\\;n+1}$a_n+1，S_n成等差数列．可得：a_n+1=1+S_n，再利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；
（II）b_n=$\frac{n}{{2}^{n+1}}$．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a₁=1，且对任意n∈N^*，S₁，$\frac{1}{2}\\;{a}_{\\;\\;n+1}$a_n+1，S_n成等差数列．
∴$2×\frac{1}{2}{a}_{n+1}$=S₁+S_n，
∴a_n+1=1+S_n，
当n≥2时，a_n=1+S_n-1，
∴a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴a_n=2^n-1．
（II）b_n=$\frac{n}{4{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n+1}}$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{4}}$$+\frac{3}{{2}^{5}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$+$\frac{n}{{2}^{n+2}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n}{{2}^{n+2}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查了递推式、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．