Question

2．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的椭圆；以椭圆的顶点为顶点构成的四边形的面积为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A，B分别是椭圆长轴的左．右端点，动点M（异于A、B）满足$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，直线MA交椭圆于P，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值并求对应的直线AM的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到ab=1，再根据离心率求得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a，b得值，即可得到椭圆得标准方程．
（2）根据$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0得到M点得轨迹是以AB为直径得圆周上，分别P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），设直线MA的方程为y=k（x+2），（k≠0），分别联立方程组，根据直线和圆和直线与椭圆得位置关系，求出P，M的坐标，再根据向量的坐标运算以及基本不等式求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值，继而求出方程．

解答 解：（1）∵椭圆的顶点为顶点构成的四边形的面积为4．
∴$\frac{1}{2}$×2a×2b=4，
∴ab=2，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
∴a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）∵$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，
∴M点得轨迹是以AB为直径得圆周上，
∵AB=4，
∴M点得轨迹方程为：x²+y²=1，
设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），设直线MA的方程为y=k（x+2），（k≠0），
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
∴（1+k²）x²+4k²x+4k²-4=0，
∴-2x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+{k}^{2}}$，
∴x₂=$\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
∴y₂=k（x₂+2）=$\frac{4k}{1+{k}^{2}}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
∴-2x₁=$\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴x₁=-$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
∴y₁=k（x₁+2）=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2-8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}•\frac{2-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$+$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}•\frac{4k}{1+{k}^{2}}$=$\frac{16{k}^{4}-4{k}^{2}+4}{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}$=$\frac{4（4{k}^{4}+5{k}^{2}+1）-24{k}^{2}}{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}$=4-$\frac{24{k}^{2}}{4{k}^{4}+5{k}^{2}+1}$，
∵k²＞0，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$=4-$\frac{24}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+5}$≥4-$\frac{24}{2\sqrt{4{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}+5}$=$\frac{4}{3}$，当且仅当k²=$\frac{1}{2}$等号成立，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值为$\frac{4}{3}$，
∴对应的直线AM的方程y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+2）．

点评 本题考查了椭圆定义，直线和圆以及直线和椭圆得位置关系，以及向量的运算基本不等式得应用，涉及得知识点较多，培养了学生得运算能力，转化能力，属于难题．