Question

7．已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，等比数列{b_n}中，b₁＞0，公比q＞0且q≠1，若a_n-a₁＞log_ab_n-log_ab₁（n＞1，n∈N，a＞0，a≠1），求a的取值范围．

Answer 1

分析 运用等差数列和等比数列的通项，结合对数函数的运算性质，讨论q＞1，0＜q＜1，运用对数函数的单调性即可得到a的范围．

解答 解：由a_n=a₁+（n-1）d，b_n=b₁q^n-1，
a_n-a₁＞log_ab_n-log_ab₁，即为
（n-1）d＞log_a$\frac{{b}_{n}}{{b}_{1}}$=log_aq^n-1=（n-1）log_aq，
由n＞1，n∈N，
可得d＞log_aq恒成立，
由于d＞0，则log_aq＜0．
故当q＞1时，a的范围为（0，1）；
当0＜q＜1时，a的范围为（1，+∞）．

点评 本题考查等比数列和等差数列的通项，同时考查对数函数的单调性的运用，以及分类讨论的思想方法，属于中档题．