Question

12．已知全集U=R，集合A={x|x²+（a-1）x-a＞0}，B={x|（x+a）（x+b）＞0（a≠b）}，M={x|x²-2x-3≤0} 
（1）若∁_UB=M，求a，b的值；
（2）若-1＜b＜a＜1，求A∩B；
（3）若-3＜a＜-1，且a²-1∈∁_UA，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解关于x的一元二次不等式得到A={x|（x-1）（x+a）＞0}，M={x|-1≤x≤3}；再求出B的补集={x|（x+a）（x+b）≤0} 利用∁_UB=M，求a、b的值
（2）由于-1＜b＜a＜1，得出∴-1＜-a＜-b＜1，有：A={x|x＜-a或x＞1}，B={x|x＜-a或x＞-b }最后求出A，B的交集即可；
（3）由于∁_UA={x|（x-1）（x+a）≤0}，根据条件a²-1∈∈∁_UA结合方程与不等式的关系即可解得a的取值范围．

解答 解：A={x|（x-1）（x+a）＞0}={x|x＜min（-a，1）或x＞max（-a，1）}，
B={x|（x+a）（x+b）＞0（a≠b）}={x|x＜min（-a，-b）或x＞max（-a，-b）}，
M={x|x²-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}，
（1）∵∁_UB=M，
∴B={x|x＞3或x＜-1}，
∴-a=-1，-b=3，或-a=3，-b=-1
∴a=1，b=-3，或a=-3，b=1；
（2）∵-1＜b＜a＜1，
∴-1＜-a＜-b＜1，
∴A={x|x＜-a或x＞1}，
∴B={x|x＜-a或x＞-b }，
∴A∩B={x|x＜-a或x＞1}．
（3）∵-3＜a＜-1，
∴1＜-a＜3，
∴∁_UA={x|1≤x≤-a}，
∵a²-1∈∁_UA，
∴1≤a²-1≤-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1≥1}\\{{a}^{2}-1≤-a}\end{array}\right.$，
解得$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$≤a≤-$\sqrt{2}$，
所以实数a的取值范围为[$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，-$\sqrt{2}$]．

点评 本小题主要考查元素与集合关系的判断、交集及其运算、集合关系中的参数取值问题等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于中档题．