Question

16．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径的两侧，使∠CAB=45°，∠DAB=60°．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点．根据图乙解答下列各题：
（Ⅰ）求三棱锥C-BOD的体积；
（Ⅱ）在$\widehat{BD}$上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先判断CO就是点C到平面BOD的距离得到三棱锥的高，利用体积公式求值；
（Ⅱ）存在，G为$\widehat{BD}$的中点．利用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行证明．

解答 解：（Ⅰ）∵C为圆周上一点，且AB为直径，∴∠C=90°，∵∠CAB=45°，∴AC=BC，
∵O为AB中点，∴CO⊥AB，∵AB=2，∴CO=1．
∵两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，
∴CO⊥面ABD
∴CO⊥面BOD
∴CO就是点C到平面BOD的距离，…（2分）
在Rt△ABD中，${S_{BOD}}=\frac{1}{2}{S_{ABD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴${V_{C-BOD}}=\frac{1}{3}{S_{BOD}}•CO=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{12}$…（6分）
（Ⅱ）存在，G为$\widehat{BD}$的中点．
证明如下：
连接OG，OF，FG，∴OG⊥BD，
∵AB为圆O的直径，
∴AD⊥BD
∴OG∥AD，OG?平面ACD，AD?平面ACD，
∴OG∥平面ACD，…（8分）
在△ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，
∴OF∥AC，OF?平面ACD，
∴OF∥平面ACD，…（10分）
∵OG∩OF=O，
∴平面OFG∥平面ACD，
又FG?平面OFG，∴FG∥平面ACD…（13分）

点评 本题考查了三棱锥的体积公式的运用以及线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的运用；熟练运用定理是关键．