Question

11．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线l：y=kx+m（k≠0）．
（1）若点F到直线x+y=3的距离为$\sqrt{2}$，求抛物线的方程；
（2）若直线l与抛物线相切于点P，与x，y轴分别交于点R、Q，求证：$\frac{|PQ|}{|RQ|}$为定值．
（3）若直线l与抛物线相交于点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点D（a，0），记m=|AF|+|BF|，证明：a是p和m的等差中项．

Answer 1

分析 （1）运用点到直线的距离公式，计算即可得到p，进而得到抛物线方程；
（2）将直线方程代入抛物线方程，运用判别式为0，解得切点P的坐标，求得R，Q的坐标，运用两点的距离公式计算，即可得到定值；
（3）联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合抛物线的定义，化简即可得到2a=m+p，即可得证．

解答 （1）解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
则d=$\frac{|\frac{p}{2}+0-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得p=2或10．
即有抛物线方程为y²=4x或y²=20x；
（2）证明：将直线l：y=kx+m，代入抛物线方程y²=2px，
可得k²x²+2（km-p）x+m²=0，
由判别式为0，可得4（km-p）²-4k²m²=0，
即为p=2km，解得P（$\frac{m}{k}$，2m），
直线l与x，y轴分别交于点R（-$\frac{m}{k}$，0）、Q（0，m），
即有|PQ|=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}+{m}^{2}}$，|RQ|=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}+{m}^{2}}$，
则$\frac{|PQ|}{|RQ|}$为定值1；
（3）证明：将直线l：y=kx+m，代入抛物线方程y²=2px，
可得k²x²+2（km-p）x+m²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{2（p-km）}{{k}^{2}}$，
即有m=|AF|+|BF|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=$\frac{2（p-km）}{{k}^{2}}$+p，
AB的中点为（$\frac{p-km}{{k}^{2}}$，$\frac{p}{k}$），
由两直线垂直的条件可得，
$\frac{\frac{p}{k}-0}{\frac{p-km}{{k}^{2}}-a}$=-$\frac{1}{k}$，即为a-p=$\frac{p-km}{{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$（m-p），
即有2a=m+p，
则a是p和m的等差中项．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线方程和直线方程联立，运用判别式和韦达定理，同时考查直线垂直的条件：斜率之积为-1，属于中档题．