Question

1．设F₁，F₂分分别为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点，点P满足|PF₂|=|F₁F₂|，且，∠PF₂F₁=90°，则双曲线的离心率e等于1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意，将x=c代入双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，利用|PF₂|=|F₁F₂|，可得2c=$\frac{{b}^{2}}{a}$，由此可求双曲线的离心率．

解答 解：由题意，将x=c代入双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴2c=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴2c=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{a}$，
∴2ac=c²-a²，
∴e²-2e-1=0，
∵e＞1，
∴e=1+$\sqrt{2}$．
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定2c=$\frac{{b}^{2}}{a}$是关键．