Question

16．已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，在区间（0，1）内任取两个实数x₁，x₂（x₁≠x₂），若不等式$\frac{f（{x}_{1}+1）-f（{x}_{2}+1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [11，+∞）
• B． [13，+∞）
• C． [15，+∞）
• D． [17，+∞）

Answer 1

分析 问题转化为f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x＞1 在（1，2）内恒成立，即a＞2x²+3x+1在（1，2）内恒成立，求出函数y=2x²+3x+1在（1，2）上的最大值即可．

解答 解：由于$\frac{f（{x}_{1}+1）-f（{x}_{2}+1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$表示点（x₁+1，f（x₁+1）） 与点（x₂+1，f（x₂+1））连线的斜率，
因实数x₁，x₂在区间（0，1）内，故x₁+1 和x₂+1在区间（1，2）内．
∵不等式$\frac{f（{x}_{1}+1）-f（{x}_{2}+1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞-1，∴f′（x）=$\frac{a}{x+1}$-2x＞1 在（1，2）内恒成立．
即 a＞2x²+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x²+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故x=2时，y=2x²+3x+1 在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15，
故答案为[15，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了导数的应用，考查函数的单调性，考查转化思想，理解$\frac{f（{x}_{1}+1）-f（{x}_{2}+1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞1恒成立，即函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1是解题的关键．