Question

6．在△ABC中，AB=2，BC=$\sqrt{3}$-1，C=$\frac{π}{4}$，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 运用正弦定理和三角形的边角关系，结合内角和定理可得B，再由向量的数量积的定义计算即可得到．

解答 解：由正弦定理可得，
$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AB}{sinC}$，即为$\frac{\sqrt{3}-1}{sinA}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{4}}$，
解得sinA=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
由于AB＞BC，且sin$\frac{π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
则有A=$\frac{π}{12}$，
B=π-A-C=π-$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{3}$，
则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cos（$π-\frac{2π}{3}$）
=2×（$\sqrt{3}-1$）×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$-1．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查向量的数量积的定义和正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．