Question

17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$，若g（x）=f（x）-x-b有三个零点，求实数b的取值集合．

Answer 1

分析 由题意，画出函数f（x）的图象，利用数形结合找出f（x）与函数y=x+b有三个零点时b的求值．

解答 解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$，
所以函数f（x）的图象如图
g（x）=f（x）-x-b有三个零点，即函数f（x）与函数y=x+b有三个交点，当直线y=x+b与函数f（x）图象相切时即${x}^{\frac{1}{2}}$=x+b有相等实根，所以b=$\frac{1}{4}$，
所以g（x）=f（x）-x-b有三个零点，实数b满足$\frac{-1}{4}+4k＜b＜\frac{1}{4}+4k，k∈Z$，b的集合为{$-\frac{1}{4}+4k，\frac{1}{4}+4k$}，k∈Z．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．