Question

2．已知函数f（x）=（sinx）²（cosx）²，求f（x）的最小正周期及在[0，$\frac{π}{4}$]上单调性．

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的恒等变换可得f（x）=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{8}$cos4x，再根据余弦函数的周期性和单调性求得f（x）的最小正周期及在[0，$\frac{π}{4}$]上单调性．

解答 解：函数f（x）=（sinx）²（cosx）² =$\frac{1}{4}$（2sinxcosx）²=$\frac{1}{4}$（sin2x）²=$\frac{1}{4}$•$\frac{1-cos4x}{2}$=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{8}$cos4x，
故函数的最小正周期为$\frac{2π}{4}$ $\frac{π}{2}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴4x∈[0，π]，∴函数y=cos4x 在[0，$\frac{π}{4}$]上单调递减，
故 f（x）=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{8}$cos4x 在[0，$\frac{π}{4}$]上单调递增．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，余弦函数的周期性和单调性，属于中档题．