Question

11．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅=5，S₅=15，求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₅=5，S₅=15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=5}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=15}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．