Question

20．用数学归纳法证明等式1（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=$\frac{1}{4}$n⁴-$\frac{1}{4}$n²对一切正整数n都成立．

Answer 1

分析 用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．

解答 证明：（1）当n=1时，由以上可知等式成立；
（2）假设当n=k时，等式成立，即1（k²-1²）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）=$\frac{1}{4}$k⁴-$\frac{1}{4}$k²，
则当n=k+1时，1[（k+1）²-1²]+2[（k+1）²-2²]+…+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]=$\frac{1}{4}$（k+1）⁴-$\frac{1}{4}$（k+1）²
=1（k²-1²）+2（k²-2²）+…+k（k²-k²）+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=$\frac{1}{4}$k⁴-$\frac{1}{4}$k²+（2k+1）$\frac{k（k+1）}{2}$=$\frac{1}{4}（k+1）^{4}-\frac{1}{4}（k+1）^{2}$．
由（1）（2）知，等式对一切正整数n都成立．

点评 本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是要用上归纳假设．属于基础题．