Question

5．若函数y=x²的图象与y=n（n＞0）的图象所围成的封闭图形的面积为$\frac{32}{3}$，则二项式（1-$\frac{n}{x}$）ⁿ的展开式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系数为96．

Answer 1

分析 利用定积分，求面积，可得n，再确定二项式（1-$\frac{n}{x}$）ⁿ的通项，即可得出结论．

解答 解：已知y=x²的图象与y=n（n＞0）的图象所围成的封闭图形的面积为$\frac{32}{3}$，
利用定积分，面积S=2${∫}_{0}^{\sqrt{n}}$（n-x²）dx=$（nx-\frac{1}{3}{x}^{3}）{|}_{0}^{\sqrt{n}}$=$\frac{32}{3}$，得${n}^{\frac{3}{2}}$=8，
所以n=4，
所以二项式（1-$\frac{4}{x}$）⁴的通项为${T}_{r+1}={C}_{4}^{r}•（-4）^{r}•{x}^{-r}$，
令r=2可得二项式（1-$\frac{4}{x}$）⁴的展开式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系数为${C}_{4}^{2}•（-4）^{2}$=96，
故答案为：96．

点评 本题考查定积分在求面积中的应用及利用二项式定理求二项式系数的试题．