Question

15．如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，VC⊥平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点．
（1）求证：BC⊥平面VAC；
（2）若直线AM与平面VAC所成角为$\frac{π}{4}$，求三棱锥B-ACM的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面VAC；
（2）根据线面所成角的大小确定三棱锥的边长关系，结合三棱锥的体积公式进行计算即可．

解答 （1）证明：因为VC⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以VC⊥BC，
又因为点C为圆O上一点，且AB为直径，所以AC⊥BC，
又因为VC，AC?平面VAC，VC∩AC=C，
所以BC⊥平面VAC．…（4分）
（2）如图，取VC的中点N，连接MN，AN，则MN∥BC，
由（I）得BC⊥平面VAC，所以MN⊥平面VAC，
则∠MAN为直线AM与平面VAC所成的角．
即∠MAN=$\frac{π}{4}$，所以MN=AN；…（6分）
令AC=a，则BC=$\sqrt{9-{a^2}}$，MN=$\frac{{\sqrt{9-{a^2}}}}{2}$；
因为VC=2，M为VC中点，
所以AN=$\sqrt{{a^2}+1}$，所以，$\frac{{\sqrt{9-{a^2}}}}{2}$=$\sqrt{{a^2}+1}$，解得a=1…（10分）
因为MN∥BC，
所以$V_{B-ACM}=V_{M-ABC}=V_{N-ABC}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•NC=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$…（12分）

点评 本题主要考查线面垂直的判断以及三棱锥的体积的计算，考查学生的推理能力．