Question

19．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，其中$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2），求函数f（x）的最大值和最小正周期．

Answer 1

分析 由向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，结合正弦函数的最值和周期，即可得到所求．

解答 解：由$\overrightarrow{a}$=（sinx+cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，2），
函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosx（sinx+cosx）+2
=sinxcosx+cos²x+2=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）+2
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）+$\frac{5}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{5}{2}$．
则当2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z时，
f（x）取得最大值$\frac{5+\sqrt{2}}{2}$；
最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，同时考查三角函数的化简和求最值，注意运用二倍角公式和两角和的正弦公式，运用正弦函数的最值和周期公式是解题的关键．