Question

9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是偶函数，其图象关于点M（$\frac{3π}{4}$，0）对称，且在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，求φ和ω的值，并求方程f（x）-lgx=0的实根个数．

Answer 1

分析 由函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数可求得φ=$\frac{π}{2}$；再由其图象关于点M（$\frac{3π}{4}$，0）对称，且在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数可求得ω=$\frac{2}{3}$或ω=2；再化方程f（x）-lgx=0的实根个数为函数f（x）与y=lgx的图象的交点的个数；从而作图求交点个数即可．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数，
∴|sinφ|=1，又∵0≤φ≤π；
∴φ=$\frac{π}{2}$；
∵图象关于点M（$\frac{3π}{4}$，0）对称，
∴sin（ω$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{2}$）=0，
∴ω$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{2}$=kπ；
∴3ω=4k-2；
又∵在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，
∴T=$\frac{2π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$•2；
即ω≤2；
故ω=$\frac{2}{3}$或ω=2；
方程f（x）-lgx=0的实根个数即函数f（x）与y=lgx的图象的交点的个数，
当ω=$\frac{2}{3}$时，作函数f（x）与y=lgx的图象如下，

有三个交点，故方程f（x）-lgx=0的实根个数为3；
当ω=2时，作函数f（x）与y=lgx的图象如下，

有7个交点，故方程f（x）-lgx=0的实根个数为7．

点评 本题考查了三角函数的综合应用及方程的根与函数图象的交点的应用，属于中档题．