Question

14．在（1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）²，若函数f（x）的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c等于1或2．

Answer 1

分析 由已知可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．

解答 【解答】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）²
当1≤x＜2时，则2≤2x＜4，
则f（x）=$\frac{1}{c}$f（2x）=$\frac{1}{c}$[1-（2x-3）²]，此时当x=$\frac{3}{2}$时，函数取极大值$\frac{1}{c}$；
当2≤x≤4时，f（x）=1-（x-3）²，此时当x=3时，函数取极大值1；
当4＜x≤8时，2＜$\frac{1}{2}$x≤4，则f（x）=cf（$\frac{1}{2}$x）=c（1-（$\frac{1}{2}$x-3）²，此时当x=6时，函数取极大值c；
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{c}$），（3，1），（6，c）共线，
∴$\frac{1-\frac{1}{c}}{3-\frac{3}{2}}$=$\frac{c-1}{6-3}$，解得c=1或2．
故答案为：1或2．

点评 本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知求出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．属于中档题．