Question

2．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=（x-3）²+1若函数f（x）的图象上所有极小值对应的点均在同一条直线上，则c=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 1或2
• D． 2或4

Answer 1

分析 分别求出当1≤x≤2时和4≤x≤8时函数的解析式，再结合已知2≤x≤4时的解析式，分别求出每段的最小值，由三点共线可求出c的值．

解答 解：由已知可得，当1≤x≤2时，$f（x）=\frac{1}{c}f（2x）=\frac{1}{c}[（2x-3）^{2}+1]$，
当2≤x≤4时，f（x）=（x-3）²+1，
当4≤x≤8时，$f（x）=cf（\frac{x}{2}）=c[（\frac{x}{2}-3）^{2}+1]$；
由题意可知函数f（x）的图象上的极小值对应的点$（\frac{3}{2}，\frac{1}{c}）$，（3，1），（6，c）共线，
则$\frac{1-\frac{1}{c}}{\frac{3}{2}}=\frac{c-1}{3}$，∴c=1或c=2．
c=2时，f（4）=2f（2）与f（2）=f（4）=2矛盾．
故选：A．

点评 本题考查了，分段函数的最值，运用了化归思想，属于中档题．