Question

10．命题p：{m|m²-5m＜0}，命题q：存在x∈R，使得x₀²+（m-1）x₀+1＜0．若“p∨q为真”，“p∧q为假”，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出使命题p，q为真的m的取值范围，进而根据“p∨q为真”，“p∧q为假”，则p，q一真一假，分类讨论，可得实数m的取值范围．

解答 解：解m²-5m＜0得，m∈（0，5），
故命题p为真时，m∈（0，5），命题p为假时，m∈（-∞，0]∪[5，+∞），
若存在x∈R，使得x₀²+（m-1）x₀+1＜0为真，
则x²+（m-1）x+1=0有两个不等的实数根，
则△=（m-1）²-4＞0，解得：m∈（-∞，-1）∪（3，+∞），
故命题q为真时，m∈（-∞，-1）∪（3，+∞），命题q为假时，m∈[-1，3]，
又∵若“p∨q为真”，“p∧q为假”，
∴p，q一真一假，
若p真q假，则m∈（0，5）∩[-1，3]=（0，3]，
若p假q真，则m∈[（-∞，0]∪[5，+∞）]∩[（-∞，-1）∪（3，+∞）]=（-∞，-1）∪[5，+∞），
综上实数m的取值范围是（-∞，-1）∪（0，3]∪[5，+∞）．

点评 本题考查的知识点是复合命题的真假，二次不等式的解法，存在性问题，难度中档．