Question

5．已知θ是第二象限的角，且sin$\frac{θ}{2}$＜cos$\frac{θ}{2}$，那么sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$的取值范围是（　　）

• A． （-1，0）
• B． （1，$\sqrt{2}$）
• C． （-1，1）
• D． （-$\sqrt{2}$，-1）

Answer 1

分析 先确定k=2n+1，2nπ+$\frac{5}{4}$π＜$\frac{θ}{2}$＜2nπ+$\frac{3}{2}$π，sin$\frac{θ}{2}$＜0，cos$\frac{θ}{2}$＜0，再确定sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$的取值范围．

解答 解：∵θ是第二象限的角，∴2kπ+$\frac{π}{2}$＜θ＜2kπ+π（k∈Z），
∴kπ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{θ}{2}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，
k=2n，2nπ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{θ}{2}$＜2nπ+$\frac{π}{2}$，不满足sin$\frac{θ}{2}$＜cos$\frac{θ}{2}$，
∴k=2n+1，2nπ+$\frac{5}{4}$π＜$\frac{θ}{2}$＜2nπ+$\frac{3}{2}$π，sin$\frac{θ}{2}$＜0，cos$\frac{θ}{2}$＜0
∵（sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$）²=1+sinθ，
∴1＜1+sinθ＜2，
∴-$\sqrt{2}$＜sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$＜-1，
故选：D．

点评 本题考查sin$\frac{θ}{2}$+cos$\frac{θ}{2}$的取值范围，考查学生的计算能力，确定2nπ+$\frac{5}{4}$π＜$\frac{θ}{2}$＜2nπ+$\frac{3}{2}$π是关键．