Question

20．已知x∈R，2$\sqrt{2}$sinx+cosx=$\frac{6m-9}{4-m}$，则实数m的取值范围是[-1，$\frac{7}{3}$]．

Answer 1

分析 利用辅助角公式将函数进行化简，结合函数的值域即可得到结论．

解答 解：设f（x）=2$\sqrt{2}$sinx+cosx=3（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$sinx+$\frac{1}{3}$cosx），
令cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sinα=$\frac{1}{3}$，
则f（x）=3（cosαsinx+sinαcosx）=3sin（x+α），
则-3≤f（x）≤3，
∵方程2$\sqrt{2}$sinx+cosx=$\frac{6m-9}{4-m}$，
∴-3≤$\frac{6m-9}{4-m}$≤3，
∵$\frac{6（m-4）+15}{4-m}=-6+$$\frac{15}{4-m}$，
∴不等式等价为∴-3≤-6+$\frac{15}{4-m}$≤3，
即3≤$\frac{15}{4-m}$≤9，
即1≤$\frac{5}{4-m}$≤3，
则$\frac{1}{3}$≤$\frac{4-m}{5}$≤1，
解得-1≤m≤$\frac{7}{3}$，
故答案为：[-1，$\frac{7}{3}$]

点评 本题主要考查三角函数值的化简和求解，以及三角函数值域的计算，利用辅助角公式将条件进行化简是解决本题的关键．