Question

11．已知函数f（x）=cos²x+1，g（x）=sin x，求 h（x）=$\frac{g（x）-1}{f（x）-2}$，x∈（0，$\frac{π}{6}$）的值域．

Answer 1

分析 运用同角的平方关系和正弦函数的单调性，结合二次函数的值域求法，即可得到所求．

解答 解：函数f（x）=cos²x+1，g（x）=sinx，
h（x）=$\frac{g（x）-1}{f（x）-2}$=$\frac{sinx-1}{co{s}^{2}x-1}$=$\frac{1}{si{n}^{2}x}$-$\frac{1}{sinx}$=（$\frac{1}{sinx}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
由x∈（0，$\frac{π}{6}$），
则sinx∈（0，$\frac{1}{2}$），$\frac{1}{sinx}$∈（2，+∞），
令t=$\frac{1}{sinx}$，则y=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
由区间（2，+∞）为增区间，可得y＞2．
则有h（x）∈（2，+∞）．
则h（x）的值域为（2，+∞）．

点评 本题考查三角函数的求值，主要考查正弦函数的单调性的运用，考查运算化简能力，属于中档题．