Question

1．在△ABC中，设f（x）=a²x²-（a²-b²）x-4c²，其中，x∈R．
（1）若f（1）=0，且B=$\frac{π}{3}$+C，则∠A=$\frac{π}{3}$，∠B=$\frac{π}{2}$，∠C=$\frac{π}{6}$．
（2）若f（2）=0，求角C的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（1），化简再由正弦定理和两角和的正弦公式，结合同角的商数关系，即可得到A，B，C；
（2）通过f（2）=0，得到a，b，c的关系式，利用基本不等式推出a²+b²=2c²≥2ab，通过余弦定理求出C的范围．

解答 解：（1）f（x）=a²x²-（a²-b²）x-4c²，f（1）=0，
即有b²=4c²，即b=2c，
由正弦定理可得sinB=2sinC，
由B=$\frac{π}{3}$+C，可得sin（$\frac{π}{3}$+C）=2sinC，
$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$sinC=2sinC，即有$\sqrt{3}$cosC=3sinC，
tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由0＜C＜π，可得C=$\frac{π}{6}$，
则B=$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵f（x）=a²x²-（a²-b²）x-4c²，f（2）=0，
∴4a²-2（a²-b²）-4c²=0，
∴a²+b²-2c²=0，
∴a²+b²=2c²≥2ab，
当且仅当，a=b=c时等号成立．
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴cosC=$\frac{{c}^{2}}{2ab}$≥$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴0＜C≤$\frac{π}{3}$．
∴角C的取值范围为（0，$\frac{π}{3}$]．
故答案为：$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$

点评 本题考查函数解析式的运用：求值，同时考查正弦定理和余弦定理的运用，三角函数的化简和求值，以及重要不等式的运用，属于中档题和易错题．