Question

13．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，AA₁=AC=CB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB$．
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求异面直线BC₁和A₁D所成角的大小；
（3）当AB=$2\sqrt{2}$时，求三棱锥C-A₁DE的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC₁与A₁C相交于点F，连接DF，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DF∥BC₁，再利用线面平行的判定定理即可证明．
（2）由（1）可得∠A₁DF或其补角为异面直线BC₁和A₁D所成角．不妨取AB=2，在△A₁DF中，由余弦定理即可得出．
（3）利用面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ABB₁A₁，利用${S}_{△{A}_{1}DE}$=${S}_{矩形AB{B}_{1}{A}_{1}}$-S_△BDE-${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}$-${S}_{△A{A}_{1}D}$可得，再利用三棱锥C-A₁DE的体积V=$\frac{1}{3}×CD×{S}_{△{A}_{1}DE}$即可得出．

解答 （1）证明：连接AC₁与A₁C相交于点F，连接DF，
由矩形ACC₁A₁可得点F是AC₁的中点，又D是AB的中点，
∴DF∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，DF?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（2）解：由（1）可得∠A₁DF或其补角为异面直线BC₁和A₁D所成角．不妨取AB=2，
$DF=\frac{1}{2}B{C}_{1}$═$\frac{1}{2}\sqrt{B{C}^{2}+{C}_{1}{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=1，
A₁D=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
${A}_{1}F=\frac{1}{2}{A}_{1}C$=1．
在△A₁DF中，由余弦定理可得：cos∠A₁DF=$\frac{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}{2×1×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∠A₁DF∈（0，π），
∴∠A₁DF=$\frac{π}{6}$，
∴异面直线BC₁和A₁D所成角的大小；
（3）解：∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，
CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
${S}_{△{A}_{1}DE}$=${S}_{矩形AB{B}_{1}{A}_{1}}$-S_△BDE-${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}E}$-${S}_{△A{A}_{1}D}$
=$2×2\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1$-$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴三棱锥C-A₁DE的体积V=$\frac{1}{3}×CD×{S}_{△{A}_{1}DE}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=1．

点评 本题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．