Question

3．已知函数f（x）=4sin²（$\frac{π}{4}$+x）+4$\sqrt{3}$sin²x-2$\sqrt{3}$-1，且给定条件p：“（x-$\frac{π}{4}$）（x-$\frac{π}{2}$）＞0，”（x∈R）
（1）在￢p的条件下，求f（x）的值域；
（2）若条件q：“-2＜f（x）-m＜2”，且￢p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出￢p的条件 下，结合三角函数的图象和性质即可求f（x）的值域；
（2）根据条件q：“-2＜f（x）-m＜2”，且￢p是q的充分条件，建立条件关系即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由（x-$\frac{π}{4}$）（x-$\frac{π}{2}$）＞0得x＞$\frac{π}{2}$或x＜$\frac{π}{4}$，即p：x＞$\frac{π}{2}$或x＜$\frac{π}{4}$，
则￢p：$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
f（x）=4sin²（$\frac{π}{4}$+x）+4$\sqrt{3}$sin²x-2$\sqrt{3}$-1=4×$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+2x）}{2}$+4$\sqrt{3}$×$\frac{1-cos2x}{2}$-2$\sqrt{3}$-1
=2+2sin2x+2$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$cos2x-2$\sqrt{3}$-1
=2sin2x-2$\sqrt{3}$cos2x+1
=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∵$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$≤2x≤π，$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
则sin$\frac{π}{6}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤sin$\frac{π}{2}$，
即$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，
3≤4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1≤5，即f（x）的值域是[3，5]；
（2）由（1）知f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，当￢p成立时，2≤f（x）≤3，
￢p：$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$，q：“-2＜f（x）-m＜2”，即q：“m-2＜f（x）＜2+m，
若￢p是q的充分条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{2+m＞3}\\{m-2＜2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m＜4}\end{array}\right.$，
解得1＜m＜4，
故实数m的取值范围是（1，4）．

点评 本题主要考查三角函数值域的求解，以及充分条件和必要条件的应用，综合性较强，涉及的知识较多．