Question

15．已知min{p，q}表示p，q中较小者，若函数f（x）=min{x-$\frac{1}{e}$，|ln（x-1）|}，且存在x₀∈（1，2e+1]，使得f（x₀）-a-1≥0成立，则a的取值范围是（-∞，ln2]．

Answer 1

分析 根据定义作出何时能f（x）的图象，将条件存在x₀∈（1，2e+1]，使得f（x₀）-a-1≥0成立转化为f（x）_max≥a+1成立，求函数在（1，2e+1]上的最大值即可．

解答 解：若存在x₀∈（1，2e+1]，使得f（x₀）-a-1≥0成立，
则等价为f（x₀）≥a+1成立，
即f（x）_max≥a+1成立，
作出函数f（x）的图象如图，对应的图象为曲线ABCD，
其中B（1+$\frac{1}{e}$，1），
当x=2e+1时，f（2e+1）=|ln（2e+1-1）|=|ln2e|=ln2e=1+ln2＞1，
故f（x）_max=1+ln2，
即1+ln2≥a+1，
解得a≤ln2，
故答案为：（-∞，ln2]

点评 本题主要考查函数最值的求解，利用数形结合以及将不等式进行转化是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．