Question

16．已知经过A（5，-3）的倾斜角的余弦值是-$\frac{3}{5}$的直线于圆x²+y²=25交于B，C两点．
（1）求BC中点坐标；
（2）求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．

Answer 1

分析 （1）求出直线的斜率，可得直线方程，求出过圆心与直线4x+3y-11=0垂直的直线方程，两直线方程联立可得BC中点坐标；
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．

解答 解：（1）倾斜角的余弦值是-$\frac{3}{5}$，则直线的斜率为-$\frac{4}{3}$，
∴经过A（5，-3）的倾斜角的余弦值是-$\frac{3}{5}$的直线方程为y+3=-$\frac{4}{3}$（x-5），即4x+3y-11=0，
过圆心与直线4x+3y-11=0垂直的直线方程为y=$\frac{3}{4}$x，
两直线方程联立可得BC中点坐标为（$\frac{44}{25}$，$\frac{33}{25}$）；
（2）斜率不存在时，直线方程为x=5，满足题意，切点坐标为（5，0）；
斜率存在时，设方程为y+3=k（x-5），即kx-y-5k-3=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-5k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，可得k=$\frac{8}{15}$，
∴切线方程为8x-15y-85=0，
过圆心与直线8x-15y-85=0垂直的直线方程为y=-$\frac{15}{8}$x，
两直线方程联立可得切点坐标为（$\frac{40}{17}$，-$\frac{75}{17}$）．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，垂径定理，勾股定理，以及两直线垂直时斜率满足的关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．