Question

4．已知函数f（θ）=cosθ-sinθ（θ∈0，$\frac{π}{2}$）．
（1）若sinθ=$\frac{3}{5}$，求f（θ）的值；
（2）若f（θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求cosθ+sinθ的值．

Answer 1

分析 （1）由sinθ的值，利用同角三角函数间基本关系求出cosθ的值，即可确定出f（θ）的值；
（2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinθcosθ的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出cosθ+sinθ的值即可．

解答 解：（1）∵sinθ=$\frac{3}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{4}{5}$，
则f（θ）=cosθ-sinθ=$\frac{4}{5}$-$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{5}$；
（2）把f（θ）=cosθ-sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，两边平方得：（cosθ-sinθ）²=1-2sinθcosθ=$\frac{1}{2}$，即2sinθcosθ=$\frac{1}{2}$，
∴（cosθ+sinθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{3}{2}$，
则cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．