Question

8．（1）已知定点M（a，0），在抛物线y²=2px（p＞0）上找一点N，使得|MN|最小．
（2）已知抛物线y²=4x有内接Rt△ABC，且直角顶点A（0，0），求证：直线BC过定点．
（3）已知抛物线y²=4x有内接△ABC，且定点A（1，2），直线AB，AC的倾角互补，求证：底边BC所在直线的斜率为定值．

Answer 1

分析 （1）设出N的坐标，运用两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，即可得到最小值；
（2）设直线AB方程为x=my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y²=4x，得y²-4my-4b=0，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点M（4，0）；
（3）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用k_AB+k_AC=0，运用正弦的斜率公式，化简整理即可得定值-1．

解答 （1）解：设N（x，y），则y²=2px，p＞0．
|MN|=$\sqrt{（x-a）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-a）^{2}+2px}$
=$\sqrt{{x}^{2}+2（p-a）x+{a}^{2}}$=$\sqrt{（x+p-a）^{2}+2pa-{p}^{2}}$，
当a≤0时，则a-p＜0，当x=0时，|MN|取得最小值-a，此时N（0，0）；
当0＜a≤$\frac{p}{2}$时，a-p＜0，2pa-p²≤0，当x=0时，|MN|取得最小值a，此时N（0，0）；
当$\frac{p}{2}$＜a≤p时，a-p＜0，2pa-p²＞0，当x=0时，|MN|取得最小值a，此时N（0，0）；
当a＞p时，a-p＞0，2pa-p²＞0，当x=a-p时，|MN|取得最小值$\sqrt{2pa-{p}^{2}}$，此时N（a-p，$±\sqrt{2p（a-p）}$）．
（2）证明：设直线CB方程为x=my+b，C（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线CB方程代入抛物线方程y²=4x，
得y²-4my-4b=0，
则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∵OC⊥OB，x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，x₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{4}{b}$=-1，解得b=4．
于是直线CB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0）；
（3）证明：∵点A（1，2），设B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），C（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
则k_AB+k_AC=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}$+$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}-1}$=0，即有$\frac{4}{{y}_{1}+2}+\frac{4}{{y}_{2}+2}$=0，
∴y₁+y₂=-4．
∴k_BC=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1．
∴直线BC的斜率为定值-1．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，同时考查抛物线方程和直线方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式的运用，二次函数的最值的求法，属于中档题．