Question

18．已知在△ABC中，A、B、C对边分别为a、b、c，已知b=2$\sqrt{7}$，B=60°，a+c=10．
（1）求sin（A+$\frac{π}{6}$）
（2）若D为△ABC外接圆中弦AC所对劣弧上的一点且2AD=DC，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦定理求得 ac=24，再根据a+c=10，求得a、c的值，再利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA的值，从而求得sin（A+30°）的值．
（2）由题意，B=60°，可求∠ADC=120°，设AD=x，则CD=2x，由余弦定理可解得AD，DC，由三角形面积公式即可求S_△ADC，S_△ABC的值，从而可求四边形ABCD的面积=S_△ADC+S_△ABC的值．

解答 解：（1）由余弦定理可得b²=28=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-3ac=100-3ac，∴ac=24．
∴a=4，c=6，或 a=6，c=4．
当a=4，c=6时，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，sin（A+30°）=sinAcos30°+cosAsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{\sqrt{7}}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$；
当a=6，c=4时，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2\sqrt{7}}$，
∴sinA=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，sin（A+30°）=sinAcos30°+cosAsin30°=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{7}}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$．
综上可得，sin（A+30°）=$\frac{5}{2\sqrt{7}}$．
（2）由题意，B=60°，∠ADC=120°，设AD=x，则CD=2x，
由余弦定理AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
可得：28=x²+（2x）²-2•x•2x•cos120°，解得x=2，
故有：AD=2，DC=4，
所以：S_△ADC=$\frac{1}{2}AD•CD•sin∠ADC$=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
由（1）可得：S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC•sinB$=$\frac{1}{2}$×$24×\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
故：四边形ABCD的面积=S_△ADC+S_△ABC=2$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦函数公式等知识的综合应用，属于基本知识的考查．