Question

3．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD⊥DC，DC∥AB，PA=AB=2，AD=DC=1．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）E为PB中点，F为BC中点，求四棱锥D-EFCP的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，利用线面垂直的性质定理可得：PA⊥BC，由AB²=AC²+BC²，可得BC⊥AC，再利用线面垂直的判定定理即可证明．
（2）由于S_{四边形PEFC}=$\frac{3}{4}{S}_{△PBC}$，可得V_D-PEFC=$\frac{3}{4}{V}_{D-PBC}$=$\frac{3}{4}{V}_{P-BCD}$=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}PA×{S}_{△BCD}$，即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
连接AC，∵AD=CD，AD⊥CD，
∴AC=$\sqrt{2}$，
由余弦定理可得：BC²=AC²+AB²-2AC•ABcos45°=2，
∴BC=$\sqrt{2}$，又AB=2，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，
∴PC⊥BC．
（2）解：S_{四边形PEFC}=$\frac{3}{4}{S}_{△PBC}$，
∴V_D-PEFC=$\frac{3}{4}{V}_{D-PBC}$=$\frac{3}{4}{V}_{P-BCD}$=$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}PA×{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{4}×2$×$\frac{1}{2}×{1}^{2}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、余弦定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．