Question

8．已知圆C过两点A（0，4），B（4，6），且圆心在直线x-2y-2=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）线段AB的垂直平分线为2x+y-9=0与直线x-2y-2=0联立，求出圆心坐标，半径，即可求圆C的方程；
（2）分类讨论，求出圆心C到直线l的距离，利用直线l过原点且被圆C截得的弦长为6，结合勾股定理，求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）线段AB的垂直平分线为2x+y-9=0与直线x-2y-2=0联立
可得圆心C（4，1），…（3分）
∴半径r=5，
故所求圆C的标准方程为（x-4）²+（y-1）²=25．…（7分）
（2）当直线l的斜率不存在时，x=0显然满足题意； …（9分）
当直线l的斜率存在时，设直线l：y=kx，
∵弦长为6，∴圆心C到直线l的距离d=4，…（11分）
即$\frac{|4k-1|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=4$，解得$k=-\frac{15}{8}$，此时直线l：15x+8y=0，…（13分）
故所求直线l的方程为x=0或15x+8y=0．…（14分）

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．