Question

18．已知在△ABC中，若$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c-b}{b}$，$\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，求∠A、∠B、∠C．

Answer 1

分析 由$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c-b}{b}$，利用正弦定理可得：$\frac{sinA}{cosA}•sinB$=$\frac{sinB}{cosB}（2sinC-sinB）$，化为$cosB=\frac{1}{2}$，B∈（0，π）．可得B．由$\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，利用正弦定理可得：$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，可得C，即可得到A．

解答 解：由$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c-b}{b}$，利用正弦定理可得：$\frac{sinA}{cosA}•sinB$=$\frac{sinB}{cosB}（2sinC-sinB）$，
∴sinAcosB=2sinCcosA-cosAsinB，
化为sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，
∵sinC≠0，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，B∈（0，π）．
∴B=$\frac{π}{3}$．
∵$\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
∵c＜b，
∴C=arcsin$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$π-\frac{π}{3}-$arcsin$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2π}{3}$-arcsin$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、两角和差的正弦公式、正弦定理、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．