Question

3．在△AOB上，点P为边AB上的一点，且|$\overrightarrow{AP}$|=2|$\overrightarrow{PB}$|．
（1）试用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OP}$；
（2）若|$\overrightarrow{OA}$|=3，|$\overrightarrow{OB}$|=2，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件及图形即可得到$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，所以$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=2（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}）$，求出$\overrightarrow{OP}$即可；
（2）带入上面求得的$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{AB}$换上$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$进行数量积的运算即可．

解答 解：（1）如图可知，$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$；
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=2（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}）$；
∴$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$；
（2）$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}=（\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$=$-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}-\frac{1}{3}{\overrightarrow{OA}}^{2}+\frac{2}{3}{\overrightarrow{OB}}^{2}$=-1-3+$\frac{8}{3}$=$-\frac{4}{3}$．

点评 考查共线向量基本定理，数乘的几何意义，向量减法的几何意义，以及数量积的计算公式．