Question

11．如图，正四面体ABCD的棱CD放置在水平面α内，且AB∥α，其俯视图的外轮廓是边长为a的正方形，则与这个正四面体的6条棱都相切的球的表面积为πa²．

Answer 1

分析 与正四面体六条棱都相切的球，可以这样转化，取AB，CD的中点M，N，则以MN为直径的球，必与其他四条棱相切，这个球也称为正四面体的棱切球．

解答 解：设正四面体的棱长为m，根据题意，AB=CD=m，就是俯视图正方形的两条对角线，所以m=$\sqrt{2}$a，
与正四面体六条棱都相切的球，可以这样转化，
取AB，CD的中点M，N，则以MN为直径的球，必与其他四条棱相切，这个球也称为正四面体的棱切球，
其半径外为R=$\frac{1}{2}$|MN|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$m=$\frac{1}{2}$a，
所以该球的表面积为S_球=4πR²=πa²．
故答案为：πa²．

点评 本题考查球的表面积，考查三视图，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．