Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，-4），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{c}$=$\frac{5}{2}$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{c}$=（x，y），根据题中的条件求出x+2y=-$\frac{5}{2}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{5}{2}$，再利用两个向量的夹角公式求出cosθ的值，由此求得θ的值．

解答 解：设$\overrightarrow{c}$=（x，y），
由向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，-4），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，
且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{c}$=$\frac{5}{2}$，
可得-x-2y=$\frac{5}{2}$，
即有x+2y=-$\frac{5}{2}$，
即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{5}{2}$，
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为等于θ，
则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=-$\frac{1}{2}$．
再由0≤θ≤π，
可得 θ=$\frac{2π}{3}$，
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的夹角公式的应用，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=-$\frac{5}{2}$是解题的关键，属于中档题